Разумевање максвелових једначина

Маквеллове једначине су основе електромагнетне теорије, која чини скуп од четири једначине које се односе на електрично и магнетно поље. Уместо да наводимо математички приказ Маквеллових једначина, у овом чланку ћемо се фокусирати на стварни значај тих једначина. Маквеллова прва и друга једначина баве се статичким електричним пољима, односно статичким магнетним пољима. Маквеллова трећа и четврта једначина бави се променом магнетних поља и променом електричних поља.

Маквеллове једначине су:

1. Гауссов закон о електричној енергији
2. Гаусов закон магнетизма
3. Фарадејев закон индукције
4. Амперов закон

1. Гауссов закон о електричној енергији

Овај закон каже да је електрични ток из затворене површине пропорционалан укупном набоју затвореном том површином. Гаусов закон се бави статичким електричним пољем.

Размотримо позитивно тачкасто наелектрисање К. Знамо да су линије електричног флукса усмерене ка позитивном наелектрисању.

Размотримо затворену површину Цхарге К _{затворени} у њему. Вектор подручја је увек изабран за њега Нормално, јер представља оријентацију површине. Нека је угао направљен вектором електричног поља са вектором површине θ.

Електрични флукс ψ је

Разлог за избор тачканог производа је тај што морамо израчунати колико електричног флукса пролази кроз површину представљену вектором нормалне површине.

Из закона кулома знамо да је електрично поље (Е) услед тачкастог наелектрисања К / 4πε ₀ р ².

С обзиром на сферну симетрију, Интегрални облик Гаусова закона је:

Стога је електрични ток Ψ = К _{затворен} / ε ₀

Овде _{приложено} К представља векторски збир свих наелектрисања унутар површине. Област која обухвата наелектрисање може бити било ког облика, али да бисмо применили Гаусов закон, морамо да изаберемо Гауссову површину која је симетрична и има уједначену расподелу наелектрисања. Гаусова површина може бити цилиндрична или сферна или равна.

Да бисмо извели његов диференцијални облик, морамо применити теорему о дивергенцији.

Ова једнацина је диференцијални облик Гаусс закона или Маквелл једначина сам.

У горњој једначини, ρ представља запреминску густину наелектрисања. Када морамо применити Гаусов закон на површину са линијским наелектрисањем или површинском расподелом, прикладније је представити једначину са густином наелектрисања.

Стога можемо закључити да дивергенција електричног поља на затвореној површини даје количину наелектрисања (ρ) која је њиме затворена. Применом дивергенције на векторско поље можемо знати да ли површина затворена векторским пољем делује као извор или сливник.

Размотримо кубоид са позитивним наелектрисањем како је горе приказано. Када применимо дивергенцију на електрично поље које излази из кутије (кубоид), резултат математичког израза говори нам да та кутија (кубоид) делује као извор за израчунато електрично поље. Ако је резултат негативан, говори нам да кутија делује као умиваоник, тј. Кутија у њу затвара негативан набој. Ако је дивергенција Нула, то значи да у њој нема набоја.

Из овога бисмо могли закључити да постоје електрични монополи.

2. Гаусов закон магнетизма

Знамо да линија магнетног флукса тече од северног до јужног пола споља.

Будући да постоје магнетске линије флукса услед постојаног магнета, биће и придружена густина магнетног флукса (Б). Када применимо теорему о дивергенцији на површину С1, С2, С3 или С4, видимо да број линија флукса који улазе и излазе са изабране површине остаје исти. Стога је резултат теореме о дивергенцији Нула. Чак и на површинама С2 и С4, разилажење је нула, што значи да ни северни ни јужни пол појединачно не делују на извор или судопер попут електричних наелектрисања. Чак и када применимо дивергенцију магнетног поља (Б) због жице која носи струју, испоставља се да је нула.

Саставни облик Гаусовог закона магнетизма је:

Диференцијални облик Гаусс-овог закона магнетизма је:

Из овога бисмо могли закључити да магнетни монополи не постоје.

3. Фарадејев закон индукције

Фарадејев закон каже да ће, када дође до промене магнетног флукса (који се мења у односу на време) који повезује завојницу или било који проводник, у завојници бити индукован ЕМФ. Ленз је изјавио да ће индуковани ЕМФ бити у таквом смеру да се супротстави промени магнетног флукса који га производи.

На горњој илустрацији, када се проводна плоча или проводник ставе под утицај променљивог магнетног поља, у њему се индукује циркулациона струја. Струја се индукује у таквом смеру да се магнетно поље које она производи супротставља променљивом магнетном материјалу који ју је створио. Из ове илустрације је јасно да променљиво или променљиво магнетно поље ствара електрично поље у циркулацији.

Из Фарадаиевог закона, емф = - дϕ / дт

Знамо да је, ϕ = _{затворена површина} ʃ Б. дС емф = - (д / дт) ʃ Б. дС

Електрично поље Е = В / д

В = ʃ Е.дл

Пошто се електрично поље мења у односу на површину (увој), постоји потенцијална разлика В.

Стога је интегрални облик Маквеллове четврте једначине,

Применом Стокеове теореме,

Разлог за примену Стокеове теореме је тај што када узмемо увој ротирајућег поља преко затворене површине, унутрашње увојне компоненте вектора међусобно се поништавају и то резултира вредновањем векторског поља дуж затворене путање.

Отуда можемо то написати,

Диференцијални облик Максвелове једначине је

Из горњег израза је јасно да магнетно поље које се мења у односу на време ствара електрично поље у циркулацији.

Напомена: У електростатици, увој електричног поља је нула, јер излази радијално напоље из наелектрисања и са њим није повезана ротирајућа компонента.

4. Амперов закон

Амперов закон каже да када електрична струја пролази кроз жицу, она ствара магнетно поље око ње. Математички, линијски интеграл магнетног поља око затворене петље даје укупну струју која је њиме затворена.

ʃ Б .дл = μ ₀ И у прилогу

Будући да се магнетно поље увија око жице, можемо применити Стокеову теорему на Амперов закон.

Стога једначина постаје

Струју затворену можемо представити у смислу густине струје Ј.

Б = μ ₀ Х помоћу ове релације израз можемо записати као

Када применимо дивергенцију на увој ротирајућег векторског поља, резултат је нула. То је зато што затворена површина не делује као извор или сливник, тј. Број флукса који улази и излази са површине је исти. Ово се може математички представити као,

Размотримо склоп као што је илустровано доле.

На колу је повезан кондензатор. Када применимо дивергенцију у региону С1, резултат показује да она није нула. У математичком запису,

У кругу постоји струја, али у кондензатору се наелектрисања преносе услед промене електричног поља на плочама. Дакле, физички струја кроз њега не протиче. Маквелл је сковао овај променљиви електрични ток као струју померања (Ј _Д). Али Маквелл је сковао термин Дисплацемент Цуррент (Ј _Д) узимајући у обзир симетрију Фарадаиевог закона, тј. Ако магнетно поље које се мења временом ствара Електрично поље, а симетријом променљиво електрично поље производи магнетно поље.

Завој интензитета магнетног поља (Х) у региону С1 је

Интегрални облик Маквеллове четврте једначине може се изразити као:

Диференцијални облик Маквеллове четврте једначине је:

Све ове четири једначине, било у интегралном облику или у диференцијалном облику заједно, називају се Маквеллова једначина.